The Heisenberg model obtained based on quantum mechanics is used for explanation of magnetism in the real materials. Since exact solutions of such theoretical models are unknown generally, many theoretical studies have tackled the problems. The Shastry-Sutherland model, one of two dimensional (2D) frustrated Heisenberg models, was published as an interesting example with an exact solution in 1981[1]. No real material corresponding to this model had been shown at that time. After two decades, SrCu2(BO3)2 was found as the real material explained by the Shastry-Sutherland model[2]. This is an example to show the importance of theoretical studies.
Since the Hamiltonian corresponding to the Heisenberg model can be treated as a matrix, the Schrödinger equation is solved by dealing with an eigenvalue problem of the matrix. A basic method to get the solution is the exact diagonalization method. The problem of this method is that the number of the spins N is limited because the calculation cost increases exponentially with increasing N. Various methods to overcome this limitation are developed.
The Density Matrix Renormalization Group (DMRG)[3] can calculate with high accuracy for one dimensional (1D) system even for large N. However, it is not powerful for 2D system. The Tree Tensor Network (TTN)[4] is a new method with simple algorithm and possibility for 2D system but its accuracy is not enough. We try to use projection and rearranged network as the variants of the TTN.
In this presentation, I will begin with the introduction making up the deficit of the previous presentation. Then, I will show our result of the demonstration in the Heisenberg model of small N using the TTN and its variants. In addition, I will show the numerical result of the matrix product state (MPS)[5] which is used for the DMRG, and the Multi-scale Entanglement Renormalization Anzats(MERA) [6] which is known to be powerful in 2D system.
現実の物質の磁性を説明するために、量子力学に基づいて得られるモデルとして、ハイゼンベルグモデル等がある。これらは必ずしも完全に解かれているわけではないため、理論的に様々な研究がなされている。その一つとして、Shastry-Sutherlandモデルは厳密解をもつ興味深い例として1981年に発表された[1]。このモデルは現実物質が存在しなかったものの、その後、SrCu2(BO3)2がShastry-Sutherlandモデルで説明できることが示された[2]。これは、理論研究の現実における重要性を示す例と言える。
シュレーディンガー方程式を考える際、波動関数をベクトルとして扱い、ハイゼンベルグモデルに対応するハミルトニアンを行列として扱うと、行列の固有値問題として処理できる。固有値問題の基本的な解法として厳密対角化が挙げられる。厳密対角化の問題点は、スピン数に応じて指数関数的に増大する計算コストに限界があり、限られた数のスピン系しか計算できないことである。この問題点を解決するための数値計算手法が数多く開発されている。
その中の密度行列繰り込み群（DMRG）法[3]という方法は、1次元では多くのスピンの系を高い精度で計算できる一方、Shastry-Sutherlandモデルのような2次元系では精度が落ちる。Tree Tensor Network（TTN）法[4]は簡単なアルゴリズムと2次元系への可能性のある新しい手法である一方、精度の点では十分とは言えない。我々はTTN法に着目し、射影を施したり、ネットワークを組みかえるなど、TTNの派生形を考案した。
今回の発表では、前回の発表を補足する形でイントロダクションを始め、少数スピン系のハイゼンベルグモデルにおけるデモンストレーション計算の結果を報告する。また、TTN法とその派生の計算結果に加えて、DMRG法で用いられる行列積状態（MPS）[5]で表現した結果や、2次元系で有力とされるMulti-scale Entanglement Renormalization Anzats（MERA）[6]の計算結果も併せて示す。